Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ V → W {\displaystyle V\rightarrow W} giữa hai mô đun (cụ thể, hai không gian vectơ) mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu tuyến tính.Một trường hợp quan trọng là khi V = W {\displaystyle V=W} , khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) trong V {\displaystyle V} . Đôi khi thuật ngữ toán tử tuyến tính chỉ ánh xạ trong trường hợp này,[1] nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} là các không gian vectơ thực (không nhất thiết là V = W {\displaystyle V=W} ),[cần dẫn nguồn] hay để nhấn mạnh rằng V {\displaystyle V} là một không gian hàm (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm).[2] Đôi khi thuật ngữ hàm tuyến tính cũng mang nghĩa là ánh xạ tuyến tính, nhưng không phải trong hình học giải tích.Một biến đổi tuyến tính luôn là ánh xạ từ một không gian con (tuyến tính) vào một không gian con (có thể với số chiều khác nhau);[3] ví dụ, ánh xạ từ một mặt phẳng đi gốc tọa độ vào một mặt phẳng, vào một đường thẳng hay một điểm. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các ma trận, các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính quay và phản xạ.Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các mô đun. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, nó là một cấu xạ trong phạm trù các mô đun trên một vành đã cho.